本路線提供由天水圍、元朗市中心往返國泰城、機場及港珠澳大橋香港口岸的特快通宵機場巴士服務，於2015年7月23日凌晨起投入服務，初時由機場（地面運輸中心）單向開往天水圍市中心，袛於每日深夜提供前往天水圍方向的服務，方便深夜抵港的旅客及機場下班員工前往元朗及天水圍區。

機場管理局每兩年會進行一次全面的交通需求調查，調查對象包括機場旅客及在機場島內工作的員工，以優化公共交通服務。在2014年的一次調查中，深宵時段（每晚2300至翌日0359時段）抵港航班數目比2013年增加21%，機場島員工要求巴士公司開辦特快通宵巴士服務，讓他們可以更快捷地回家作息或上班，而在深宵和清晨抵港的旅客或市民亦可利用該等巴士服務。為應付機場員工及抵港旅客對深宵公共交通的需求，機場管理局建議運輸署及巴士公司開辦機場深宵特快巴士路線，由機場直接前往員工主要居住地區。

運輸署隨後與巴士公司商討後，在得到機場島上公司僱主支持下，及因應暑假深宵抵達香港航班數目較多，建議在2015年7月開辦四條深宵特快機場通宵巴士路線（城巴NA21、NA29線及龍運巴士NA33、NA34線），由機場分別前往交通需求較集中的地區，試辦期三個月。機管局更特別為通宵巴士快線補貼巴士公司，如實收車費收益低於巴士公司同意承擔的成本，機管局會補貼差額。

四條路線中，NA34線（即本路線）為其中一條，由機場（地面運輸中心）開往天水圍市中心，由機場開出後繞經國泰城，然後取道大欖隧道直接前往元朗及天水圍，原計劃走線依現時E34P線往天水圍方向路線行走，及至路線開辦時，天水圍區內走線被修改，繞經天水圍北（天恩邨、天秀路），並提供免費轉乘九巴通宵路線N269線的優惠，方便乘客前往天水圍其他地區，於2015年7月23日凌晨起投入服務。機場管理局將此類路線定名為「通宵巴士快線 Overnight Express Bus」，更為貨運區及航膳區之員工提供免費機場員工接駁巴士前往國泰城及一號客運大樓以轉乘此類路線。 

龍運巴士於2015年聖誕節期間，因應該段期間內清晨離開香港的航班數目較多，於12月18日至12月27日期間增設一班清晨由天水圍市中心開往國泰城及機場的特別班次，該項服務於2016年9月26日起正式以試辦形式增設，方便天水圍及元朗居民直達機場乘搭清晨開出的航班。

為配合港珠澳大橋於2018年10月24日早上0900通車，本路線於翌日（10月25日）凌晨起，總站延長至港珠澳大橋香港口岸，方便清晨於該口岸過境澳門或珠海，及深夜由澳門或珠海返港的天水圍、元朗居民。另外，本路線設有一班不經元朗的特別班次（於2018年2月7日起增設），方便天水圍居民不需繞經元朗，直接前往機場。2019年1月1日起，該項服務獲獨立編號為NA37，替代原有本路線該項特別班次，並改經屏廈路近天水圍站（屏欣苑）、洪福邨、洪水橋輕鐵站及屯門公路，以配合屏欣苑入伙及洪水橋發展，以試辦形式營辦直至另行通告。

為配合機場三跑道系統項目工程，機場（二號客運大樓）於2019年11月28日晚上2300起關閉，以便進行長達四年的擴建工程。為配合該項工程，位於翔天路的機場（二號客運大樓）巴士站於翌日（2019年11月29日）凌晨起停用，本路線由當日起，在機場（一號客運大樓）落客後，即直接前往港珠澳大橋香港口岸旅檢大樓，不再途經機場（二號客運大樓）。

全長9公里的屯門赤鱲角連接路，其中的北段（往來港珠澳大橋香港口岸人工島至屯門第40區，已命名為「屯門赤鱲角隧道」）定於2020年12月27日起通車（而連接至北大嶼山公路的南段（即順朗路）則早於2018年10月24日隨港珠澳大橋一併落成通車）。早於2020年6月，運輸署發表《配合屯門至赤鱲角連接路的北面連接路通車專營巴士行車路線調整安排》，建議在屯門赤鱲角隧道通車當日起，將屯門、元朗、天水圍及北區的大部份機場巴士路線，改經該隧道往返新界區至機場，並進行相應的巴士路線重組。經屯門、元朗及北區區議會交通及運輸委員會商討後，當局決定分階段實施方案，於屯門赤鱲角隧道通車當日起實施屯門區的機場路線重組，至於元朗及天水圍區的機場路線重組，則約在屯門區機場路線重組實施後約一個月後實施。

在元朗區的機場路線重組計劃內，龍運建議本路線大幅修改走線，元朗端總站遷往錦上路站，加經高埔村、爾巒及凹頭，再取道原有元朗大馬路相反方向駛入元朗公路（唐人新村交匯處至虎地段）、屯門公路（紅橋、屯門市中心）、龍富路往返屯門赤鱲角隧道（往錦上路站方向加經宏達路、元朗安寧路），不再經天水圍、元朗公路（博愛交匯處至青朗公路段）、青朗公路、大欖隧道、汀九橋、青嶼幹線；離島端總站同時遷往國泰城，往國泰城方向，離開屯門赤鱲角隧道後，改為先繞經港珠澳大橋香港口岸，才駛往機場一號客運大樓離境大堂，再前往國泰城為終站；回程則由國泰城對面巴士站開出，途經機場（地面運輸中心）巴士總站及港珠澳大橋香港口岸，再駛入屯門赤鱲角隧道前往屯門、元朗大馬路及錦田，路線編號同時改稱NA36，而天水圍區的服務則由提升至雙向服務的NA37線替代。隨著屯門赤鱲角隧道於2020年12月27日全線通車，及配合元朗及天水圍區機場及路線重組，NA34線於2021年6月20日凌晨起，實施相關的總站遷移及路線改動，並改稱NA36。因全程行車里數大為縮減，全程收費由原本的 $40.00 調低至 $33.00。

值得一提，本路線及同日開辦的NA21、NA29及NA33線，成為香港首批以兩個英文字母開首的專營巴士路線，同時本路線及NA33線投入服務後，以全程收費$40，取代A43線的紀錄，曾成為單程收費最高的龍運巴士路線，此項紀錄於2016年12月17日起被當日投入服務的NA43線（聯和墟至機場）以全程收費$45打破。